Sur la terre, le plan vertical qui contient l'axe de visée du satellite passe par le lieu d'observation Z, par le centre de la terre O et par le satellite S. Le plan du méridien du satellite passe par le pôle Nord P, par le centre de la terre O et par le satellite S. Ces 2 plans ont 2 points en commun, le centre de la terre O et le satellite S. Ils ont donc en commun tous les points de la droite joignant ces 2 points et en particulier le point M où cette droite coupe l'équateur.
L'azimut est l'angle entre le plan du méridien du lieu et le plan de visée. C'est l'angle en Z du triangle sphérique PZM. A noter que le coté PM est égal à 90° puisque le point M est sur l'équateur.
On obtient: tg(azimut-180) = tg(écart en longitude) / sin(latitude)
Dans le triangle PZM calculons tout d'abord l'arc ZM ou ce qui revient au même l'angle au centre ZOM. Appelons cet angle b
cosb =cos(écart en longitude)cos(latitude)
Placons nous maintenant dans le plan du triangle OZS. Dans ce plan, l'horizon au point Z est la droite perpendiculaire au rayon. L'élévation a est l'angle entre l'horizon et la droite ZS de visée du satellite.
Au point S menons la perpendiculaire SH à la droite OZ. L'angle ZSH est égal à
Dans le triangle OHS nous avons:
cosb = OH / OS = ( r + ZH ) / ( r + h )
ZH = cosb ( r + h ) - r
De même sin b = HS / OS = HS / ( r + h)
HS = sin b ( r + h )
Dans le triangle ZHS
tg a = ZH / HS =cosb ( r + h ) - r / sinb ( r + h )
tg a = [cosb - r / ( r + h )] / sinb
On se place ensuite dans le cadre de la sphère céleste. On recherche l'angle horaire P du soleil correspondant à un azimut donné Z. L'angle horaire recherché est fonction:
- de la latitude L du lieu
- de la déclinaison D du soleil, qui est elle même fonction de la date.
Dans le triangle sphérique PZA, P étant le pôle Nord, Z le zénith et A le soleil, on a:
coté PZ=90°-L
coté PA=90°-D (D étant pris algébriquement, + si Nord, - si Sud)
On connait Z, L et D. On cherche P.
Il faut appliquer la formule des 4 éléments consécutifs: (formule qui est moins connue que celles des sinus ou des cosinus).
tg(D)cos(L) - cotg(Z)sin(P) = sin(L)cos(P)
A noter que cette équation n'a pas toujours une solution.
P n'est pas facile à calculer par cette formule car il intervient par son sinus et son cosinus. Il est plus simple de décomposer le triangle sphérique PZA en 2 triangles sphériques rectangles en abaissant la verticale PH de P sur le coté ZA.
On calcule PH, puis les angles P1 et P2. On a:
>sin(PH) = sin(90-L)sin(Z) = cos(L)sin(Z)>
tg(PH) = tg(90-L)cos(P1) => cos(P1) = tg(PH)tg(L)
tg(PH) = tg(90-D)cos(P2) => cos(P2) = tg(PH)tg(D)
si Z<90 P = P1+P2 (c'est le cas de la figure)
si Z>90 le point H est à l'extérieur de ZA et P = P2-P1
On passe de l'angle horaire P à l'heure du fuseau par
AHvg=24-P AHvg est l'angle horaire du soleil vrai au lieu de longitude G
AHvo=AHvg+G AHvo est l'angle horaire du soleil vrai à Greenwich
Tco=AHvo-Ec Tco est le temps civil, Ec est l'équation du temps civil
Heure du fuseau = Tco + décalage horaire
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